1256 Вправа 1256Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1256. Висота рівнобічної трапеції дорівнює h, а її площа – h². Під яким кутом перетинаються діагоналі трапеції?

Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD; AD = BC; DK ⊥ AB; DK = h; O – точка перетину діагоналей.

S = h2;

S = ${\displaystyle \frac{\mathbf{DC}\mathbf{+}\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$ · h;

h2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{DC}\mathbf{+}\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$ · h;

${\displaystyle \frac{\mathbf{DC}\mathbf{+}\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$ = h.

AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}\mathbf{-}\mathbf{DC}}{\mathbf{2}}}$ (трапеція рівнобічна);

KB = AB – AK = AB – ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}\mathbf{-}\mathbf{DC}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{DC}\mathbf{+}\mathbf{AB}}{\mathbf{2}}}$ = h.

У △DKB (∠K = 90°):

DK = KB = h, тому △DKB – рівнобедрений;

∠DBA = 45°.

∠CAB = ∠DBA = 45° (трапеція рівнобічна).

У △AOB:

∠AOB = 180° – 45° – 45° = 90°.

Отже, діагоналі перпендикулярні.

Відповідь: 90°.