1259 Вправа 1259Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1259. Якщо у трапеції середину бічної сторони з'єднати відрізками з кінцями іншої бічної сторони, то утворений трикутник має площу, удвічі меншу від площі трапеції. Доведіть.

Нехай дано трапецію ABCD; M – середина сторони AB; h – висота трапеції.

Довести: S△MCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Доведення

Через точку M проведемо PK ⊥ AD; PK ⊥ BC.

PK = h;

PM = MK (△MPB = △MKA за гіпотенузою і гострим кутом);

PM = MK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$h.

S△MBC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$PM · BC;

S△AMD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$MK · AD;

S△MBC + S△AMD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$h · BC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$h · AD =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}$h(BC + AD);

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$h(BC + AD);

S△MCD = SABCD – (S△MBC + S△AMD) =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$h(BC + AD) – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}$h(BC + AD) =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}$h(BC + AD) = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Що і потрібно було довести.