1258 Вправа 1258Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1258. У трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями відрізок, що сполучає середини основ, дорівнює середній лінії трапеції. Доведіть.

Нехай дано трапецію ABCD; BD ⊥ AC; O – точка перетину діагоналей; MK – відрізок, що сполучає середини основ BC і AD; PN – середня лінія трапеції.

Довести: MK = PN.

Доведення

Точка O перетину діагоналей лежить на відрізку MK, тому MK = MO + OK.

У △BOC (∠O = 90°):

OM – медіана, проведена до гіпотенузи;

OM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC (медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині).

У △AOD (∠O = 90°):

OK – медіана, проведена до гіпотенузи;

OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD.

MK = MO + OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(BC + AD);

PN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(BC + AD) (властивість середньої лінії трапеції).

Отже, MK = PN.

Що і потрібно було довести.