1254 Вправа 1254Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1254. Діагоналі трапеції ABCD з основами AB і CD перетинаються в точці O. Доведіть, що площа трикутника BOC є середнім пропорційним між площами трикутників AOB і COD.

Доведення

∠AOB = ∠COD (вертикальні);

∠OAB = ∠OCD (внутрішні різносторонні при AB ∥ CD і січній AC).

△AOB ~ △COD (за двома кутами), тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{OD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{CD}}}$.

△BOC і △COD мають спільну висоту з вершини C, тому

${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{BOC}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{COD}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{OD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{CD}}}$.

△AOB і △BOC мають спільну висоту з вершини B, тому

${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{AOB}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{BOC}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{CD}}}$.

Отже, ${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{BOC}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{COD}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{AOB}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{BOC}}}}$;

S2△BOC = S△AOB · S△COD.

Що і потрібно було довести.