1257 Вправа 1257Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1257. Знайдіть площу рівнобічної трапеції з бічною стороною c і перпендикулярною до неї діагоналлю d, якщо основи трапеції відносяться як 3 : 5.

Нехай ABCD – рівнобічна трапеція; AB = CD = c; AC = d; AC ⊥ CD; BC : AD = 3 : 5.

У △ACD (∠C = 90°):

AD2 = AC2 + CD2 (за теоремою Піфагора);

AD2 = d2 + c2;

AD = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}$;

BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{5}}}$.

Проведемо CK ⊥ AD; KD = x.

CD2 = AD · KD (катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проекцією на гіпотенузу);

c2 = x${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}$;

x = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}}{\sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}}$.

У △CKD (∠K = 90°):

CK2 = c2 – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}^{\mathbf{4}}}{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}$;

CK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{cd}}{\sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}}$.

S = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AD}}{\mathbf{2}}}$ · CK =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}}$ + 1)${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{cd}}{\sqrt{{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{8}}{\mathbf{5}}}$cd = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{cd}}{\mathbf{5}}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{cd}}{\mathbf{5}}}$.