1251 Вправа 1251Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 246

1251. Доведіть, що існує безліч нерівних трапецій, які мають із трапецією ABCD спільну середню лінію та однакову з нею площу.

Доведення

Нехай MN – середня лінія трапеції ABCD, a і b – її основи, h – висота.

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ:

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$;

SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ · h = MN · h.

Проведемо дві прямі, паралельні MN, на відстані ${\displaystyle \frac{\mathbf{h}}{\mathbf{2}}}$ від неї по різні боки.

На одній із них візьмемо довільні точки B1 і C1, а на другій – точки A1 і D1, симетричні їм відносно точок M і N відповідно.

Тоді M і N – середини бічних сторін A1B1 і C1D1;

MN – середня лінія трапеції A1B1C1D1;

її висота дорівнює h.

Площа трапеції A1B1C1D1 дорівнює MN · h = SABCD.

Точки B1 і C1 можна вибрати безліччю способів, тому таких нерівних трапецій – безліч.

Отже, існує безліч нерівних трапецій, які мають із трапецією ABCD спільну середню лінію й однакову з нею площу.

Що і потрібно було довести.