1255 Вправа 1255Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 22 · стор. 247

1255. Основи трапеції відносяться як m : n. Знайдіть відношення площ чотирьох частин трапеції, на які її розбивають діагоналі.

Нехай ABCD – трапеція; DC : AB = m : n; O – точка перетину діагоналей.

△DOC ~ △BOA (за двома кутами), тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{OC}}{\mathbf{OA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{OB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{n}}}$.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{DOC}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{AOD}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OC}}{\mathbf{OA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{n}}}$ (спільна висота з вершини D);

${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{AOD}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{AOB}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{OB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{n}}}$ (спільна висота з вершини A).

S△ABD = S△ABC (спільна основа AB і рівні висоти);

S△AOD = S△ABD – S△AOB = S△ABC – S△AOB = S△BOC.

Отже, S△DOC : S△AOD : S△BOC : S△AOB = m2 : mn : mn : n2.

Відповідь: m2 : mn : mn : n2, тобто (${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{n}}}$)2 : ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{n}}}$ : ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{n}}}$ : 1.