590 Вправа 590Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 10 · стор. 116

590. Кожну сторону трикутника збільшено на: 1) 2 см; 2) 5 см. З утворених відрізків побудовано новий трикутник. Чи може він бути подібним даному?

1) Нехай a, b, c – сторони трикутника. Якщо кожну сторону збільшити на 2 см, то a + 2, b + 2, c + 2 – сторони нового трикутника.

Трикутники подібні, якщо ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{c}}}$.

${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{b}}}$ ⇔ ab + 2b = ab + 2a ⇔ a = b.

Аналогічно b = c.

Отже, рівність можлива лише тоді, коли a = b = c.

2) a + 5, b + 5, c + 5 – сторони нового трикутника.

${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{5}}{\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{5}}{\mathbf{b}}}$ ⇔ ab + 5b = ab + 5a ⇔ a = b.

Аналогічно b = c, тобто рівність можлива лише тоді,

коли a = b = c.

Отже, в обох випадках новий трикутник подібний даному лише тоді, коли даний трикутник рівносторонній; трикутник з різними сторонами – не подібний.

Відповідь: 1) ні; 2) ні (якщо даний трикутник не є рівностороннім).