591 Вправа 591Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 10 · стор. 116

591. Кожну сторону трикутника збільшено на: 1) третину її довжини; 2) 25 % її довжини. Чи можна з утворених відрізків побудувати трикутник? Чи може він бути подібним даному?

Нехай a, b, c – сторони даного трикутника.

1) a + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$a = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}}$a; b + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$b = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}}$b; c + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$c = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}}$c – сторони нового трикутника.

Нерівності трикутника для них виконуються (усі сторони помножено на одне й те саме число), тому трикутник побудувати можна.

${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{a}}{\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{b}}{\mathbf{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{c}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}}$.

Отже, новий трикутник подібний даному (k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}}$).

2) a + 0,25a = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}}$a; b + 0,25b = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}}$b; c + 0,25c = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}}$c.

Трикутник побудувати можна, і

${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{a}}{\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{b}}{\mathbf{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}\mathbf{c}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}}$.

Сторони нового трикутника пропорційні сторонам даного трикутника,

тому ці трикутники подібні (k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}}$).

Відповідь: 1) так, так; 2) так, так.