599 Вправа 599Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 10 · стор. 117

599. Відповідні сторони двох подібних трикутників попарно додано і з трьох утворених відрізків побудовано новий трикутник. Чи подібний цей трикутник даним трикутникам?

Нехай a1, b1, c1 і a2, b2, c2 – сторони двох подібних трикутників, тоді

${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}}$ = k.

a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2 – сторони нового трикутника.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = 1 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$;

${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}}$ = 1 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}}$;

${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}}$ = 1 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}}$.

Оскільки ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}}$, то 1 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = 1 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}}$ = 1 + ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}}$,

тобто ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}}$.

Отже, сторони нового трикутника пропорційні сторонам першого трикутника, тому ці трикутники подібні.

Аналогічно ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}}$ + 1;

${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}}$ + 1;

${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}}$ + 1,

а ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}}$, тому ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{b}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{b}}_{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{+}\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}}$.

Тобто новий трикутник подібний і другому з даних трикутників.

Відповідь: так.