604 Вправа 604Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 10 · стор. 117

604. Найбільші сторони двох подібних трикутників дорівнюють відповідно a1 і a2, а різниця їхніх периметрів P2 – P1 = m. Доведіть, що P1 = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{ma}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ і P2 = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{ma}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$.

За умовою P2 – P1 = m; P2 = P1 + m; P1 = P2 – m.

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню їхніх відповідних сторін, тому ${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{P}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}}}$.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{m}}{{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}}}$;

a2P1 = a1P1 + ma1;

a2P1 – a1P1 = ma1;

P1(a2 – a1) = ma1;

P1 = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{ma}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{P}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{P}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{m}}}$;

a1P2 = a2P2 – a2m;

a2P2 – a1P2 = a2m;

P2(a2 – a1) = ma2;

P2 = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{ma}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$.

Що і потрібно було довести.