605 Вправа 605Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 10 · стор. 117

605. Доведіть, що радіус кола, що проходить через середини сторін трикутника, дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо цього трикутника.

Дано: △ABC; O – центр описаного кола, R – його радіус; A1, B1, C1 – середини сторін BC, AC, AB.

Довести: радіус кола, описаного навколо △A1B1C1, дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathbf{R}}{\mathbf{2}}}$.

Доведення

Центр O описаного кола лежить на серединних перпендикулярах до сторін, тому

OC1 ⊥ AB;

OB1 ⊥ AC.

Тоді ∠AC1O = ∠AB1O = 90°.

Точки C1 та B1 лежать на колі з діаметром AO (вписаний прямий кут спирається на діаметр).

Це коло описане навколо △AC1B1, його радіус дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{R}}{\mathbf{2}}}$.

B1C1, A1B1, A1C1 – середні лінії △ABC, тому

B1C1 – спільна сторона;

A1B1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB = AC1;

A1C1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC = AB1.

Отже, △A1B1C1 = △AC1B1 (за трьома сторонами).

Кола, описані навколо рівних трикутників, мають рівні радіуси.

Тому радіус кола, що проходить через середини сторін △ABC, дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathbf{R}}{\mathbf{2}}}$.

Що і потрібно було довести.