859 Вправа 859Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 15 · стор. 159

859. ЗНО Діагональ BD прямокутної трапеції ABCD є бісектрисою кута ADC й утворює з основою AD кут 30° (мал. 15.13). Визнач довжину середньої лінії трапеції ABCD (у см), якщо BD = 20${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

Дано: ABCD — трапеція; ∠A = 90°; DB — бісектриса; ∠ADB = 30°, BD = 20${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

Знайти: середню лінію MN.

Розв'язання

△BAD (∠A = 90°):

cos ∠ADB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}}$;

AD = BD · cos ∠ADB = 20${\displaystyle \sqrt{3}}$ · cos 30° = 20${\displaystyle \sqrt{3}}$ · ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 10 · 3 = 30 (см).

AB² = BD² – AD² = (20${\displaystyle \sqrt{3}}$)² – 30² = 1200 – 900 = 300;

AB = ${\displaystyle \sqrt{300}}$ = 10${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см);

CH = AB = 10${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см).

△CHD (∠H = 90°):

sin D = ${\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}}}$;

CD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\sin \mathrm{D}}}$ = ${\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sin {60}^{\circ }}}$ = 10${\displaystyle \sqrt{3}}$ : ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{10\sqrt{3}\cdot 2}{\sqrt{3}}}$ = 20 (см).

За властивістю бісектриси трапеції BC = CD = 20 см.

MN = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{20+30}{2}}$ = 25 (см).

Відповідь: 25 см.