873 Вправа 873Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 15 · стор. 160

873. BH і AP — висоти рівнобедреного трикутника ABC, AB = BC = b, а кут при вершині — α. Установи відповідність між умовами (1–3) та виразами, які їм відповідають (А–Д). 1 AC; 2 BH; 3 AP. А b sin ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; Б b cos ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; В 2b sin ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; Г b sin α; Д 2b cos ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

Дано: △ABC; AB = BC = b; ∠B = α; BH і AP — висоти.

1. AC: висота BH є також медіаною і бісектрисою:

∠ABH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B = ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

△AHB (∠H = 90°):

sin ∠ABH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}}$;

AH = AB · sin ∠ABH = b · sin ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$; AC = 2 · AH = 2b sin ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ (В).

2. BH: △AHB (∠H = 90°): cos ∠ABH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}}$;

BH = AB · cos ∠ABH = b · cos ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ (Б).

3. AP: △APB (∠P = 90°): sin B = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}}$;

AP = AB · sin B = b · sin α (Г).

Відповідь: 1 – В; 2 – Б; 3 – Г.