875 Вправа 875Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 15 · стор. 161

875. BH і AM — висоти рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC). Знайди кути трикутника, якщо BH = 6 см, AM = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

Дано: △ABC (AB = BC); BH і AM — висоти;

BH = 6 см; AM = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C.

Розв'язання

Нехай ∠A = ∠C = α.

△BHC (∠H = 90°):

sin C = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BC}}}$;

BH = BC · sin C; 6 = BC · sin α.

△AMC (∠M = 90°):

sin C = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AC}}}$; AM = AC · sin C;

6${\displaystyle \sqrt{3}}$ = AC · sin α; AC = 2 · HC.

△BHC (∠H = 90°):

cos C = ${\displaystyle \frac{\mathrm{HC}}{\mathrm{BC}}}$;

HC = BC · cos α;

AC = 2 · HC = 2BC · cos α.

AM = AC · sin α;

BH = BC · sin α;

Підставимо значення AC у формулу для AM:

2BC · sin α · cos α = 6${\displaystyle \sqrt{3}}$;

BC sin α = 6;

2 cos α = ${\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{6}}$;

2 cos α = ${\displaystyle \sqrt{3}}$;

cos α = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$; α = 30°.

∠A = ∠C = 30°; ∠B = 180° – 2 · 30° = 120°.

Відповідь: 30°, 30°, 120°.