876 Вправа 876Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 15 · стор. 161

876. З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як ${\displaystyle \sqrt{6}}$ : 2. Знайди кут між похилими, якщо проєкції похилих пропорційні числам ${\displaystyle \sqrt{3}}$ і 1.

Дано: MH ⊥ a; AM : BM = ${\displaystyle \sqrt{6}}$ : 2; AH : HB = ${\displaystyle \sqrt{3}}$ : 1.

Знайти: ∠AMB.

Розв'язання

Нехай AM = x${\displaystyle \sqrt{6,}}$ BM = 2x;

AH = y${\displaystyle \sqrt{3,}}$ BH = y.

△AHM (∠H = 90°):

MH² = 6x² – 3y²;

△BHM (∠H = 90°): MH² = 4x² – y².

6x² – 3y² = 4x² – y²;

2x² = 2y²;

y = x.

△AHM:

cos A = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}\sqrt{3}}{\mathrm{x}\sqrt{6}}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$;

∠A = 45°, тоді ∠AMH = 45°.

△BHM:

cos B = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$;

∠B = 60°, тоді ∠BMH = 30°.

а)

Похилі лежать по різні боки від перпендикуляра:

∠AMB = ∠AMH + ∠HMB = 45° + 30° = 75°.

б)

Похилі лежать по один бік від перпендикуляра:

∠AMB = ∠AMH – ∠BMH = 45° – 30° = 15°.

Відповідь: 75° або 15°.