443 Вправа 443Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 82

443. ABCD – рівнобічна трапеція, AD ∥ BC, AC і BD – діагоналі, O – точка їх перетину (мал. 188). Доведіть: 1) △BOC і △AOD – рівнобедрені; 2) △AOB = △DOC.

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція; AD ∥ BC; AC ∩ BD = O.

Довести: 1) △BOC і △AOD – рівнобедрені; 2) △AOB = △DOC.

Доведення

1) У △ABD і △DCA:

AD – спільна сторона;

AB = DC (бічні сторони рівнобічної трапеції);

BD = CA (задача 442).

Отже, △ABD = △DCA (за трьома сторонами).

З рівності трикутників: ∠BDA = ∠CAD, тобто ∠ODA = ∠OAD.

Отже, △AOD – рівнобедрений.

Аналогічно △BCD = △CBA (за трьома сторонами: BC – спільна, CD = BA, BD = CA).

З рівності трикутників: ∠DBC = ∠ACB, тобто ∠OBC = ∠OCB.

Отже, △BOC – рівнобедрений.

2) У △AOB і △DOC:

AO = DO (△AOD – рівнобедрений);

OB = OC (△BOC – рівнобедрений);

AB = DC (бічні сторони рівнобічної трапеції).

Отже, △AOB = △DOC (за трьома сторонами).

Що і потрібно було довести.