457 Вправа 457Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 83

457. Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція – рівнобічна. Доведіть.

Дано: ABCD – трапеція (AD ∥ BC); AC = BD.

Довести: AB = DC.

Доведення

Проведемо BK ⊥ AD і CM ⊥ AD.

BK = CM (відстані між паралельними прямими AD і BC).

У прямокутних △ACM і △DBK:

AC = BD (за умовою);

CM = BK (за доведеним).

Отже, △ACM = △DBK (за гіпотенузою і катетом).

З рівності трикутників: ∠CAM = ∠BDK, тобто ∠DAC = ∠ADB.

У △ABD і △DCA:

BD = CA (за умовою);

AD – спільна сторона;

∠ADB = ∠DAC (за доведеним).

Отже, △ABD = △DCA (за двома сторонами і кутом між ними).

З рівності трикутників: AB = DC, тобто ABCD – рівнобічна трапеція.

Отже, якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція – рівнобічна.

Що і потрібно було довести.