459 Вправа 459Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 83

459. Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то середня лінія трапеції дорівнює її висоті.

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція (BC ∥ AD); AC ⊥ BD; LN – середня лінія.

Довести: LN = MK, де MK – висота.

Доведення

Через точку O проведемо MK ⊥ BC, тоді MK ⊥ AD.

BO = OC (задача 443) і ∠BOC = 90°, тому

∠OBC = ∠OCB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{90}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{2}}}$ = 45°.

У △OMC: ∠OMC = 90°, ∠OCM = 45°, тому OM = MC.

OM – висота рівнобедреного △BOC, тому і медіана: BM = MC.

Отже, OM = MC = BM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC.

Аналогічно AO = OD, ∠OAD = ∠ODA = 45°, тому

OK = KD = AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD.

Тоді MK = MO + OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AD}}{\mathbf{2}}}$ = LN.

Отже, якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то середня лінія трапеції дорівнює її висоті.

Що і потрібно було довести.