450 Вправа 450Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 82

450. Доведіть теорему про властивості середньої лінії трапеції, скориставшись малюнками 190–192 (MN – середня лінія).

Мал. 190

Нехай E – середина діагоналі AC.

ME ∥ BC, ME = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC (ME – середня лінія △ABC).

EN ∥ AD, EN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD (EN – середня лінія △ACD).

Через точку E проходить лише одна пряма, паралельна BC, тому точки M, E, N лежать на одній прямій.

Отже, MN ∥ BC ∥ AD.

MN = ME + EN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AD}}{\mathbf{2}}}$.

Мал. 191

Проведемо CF ∥ AB, тоді ABCF – паралелограм.

AF = BC, CF = AB (протилежні сторони паралелограма).

Нехай E – середина CF.

MB ∥ CE і MB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$CF = CE, тому MBCE – паралелограм.

Отже, ME ∥ BC і ME = BC.

EN ∥ AD, EN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$FD (EN – середня лінія △FCD).

Тоді точки M, E, N лежать на одній прямій і MN ∥ AD ∥ BC.

MN = ME + EN = BC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$FD = BC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(AD – AF) =

= BC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{+}\mathbf{BC}}{\mathbf{2}}}$.

Мал. 192

Проведемо EF ∥ AB, тоді ABEF – паралелограм, BE = AF.

У △CNE і △DNF:

CN = DN (за умовою);

∠CNE = ∠DNF (вертикальні);

∠ECN = ∠FDN (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD та січній CD).

Отже, △CNE = △DNF (за стороною та прилеглими до неї кутами).

З рівності трикутників: EN = FN, CE = DF.

M і N – середини сторін AB і EF паралелограма ABEF, тому MBEN – паралелограм.

Отже, MN ∥ BE ∥ AD і MN = BE = AF.

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(BE + AF) = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(BC + CE + AD – FD) =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(BC + CE + AD – CE) = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(BC + AD).

Що і потрібно було довести.