460 Вправа 460Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 83

460. Якщо середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює її висоті, то діагоналі трапеції перпендикулярні. Доведіть.

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція (AD ∥ BC); LM – середня лінія; LM дорівнює висоті.

Довести: AC ⊥ BD.

Доведення

Проведемо BK ⊥ AD, CN ⊥ AD.

AN = KD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{+}\mathbf{BC}}{\mathbf{2}}}$ = LM (задача 446).

BK = CN = LM (за умовою).

Тоді CN = AN і BK = KD.

Отже, △ACN і △BKD – прямокутні й рівнобедрені, тому

∠CAN = ∠KDB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{90}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{2}}}$ = 45°.

Із △AOD: ∠AOD = 180° – ∠OAD – ∠ODA =

= 180° – 45° – 45° = 90°.

Отже, AC ⊥ BD.

Таким чином, якщо середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює її висоті, то діагоналі трапеції перпендикулярні.

Що і потрібно було довести.