453 Вправа 453Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 83

453. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам і дорівнює їх піврізниці.

Дано: ABCD – трапеція (BC ∥ AD); AK = KC, BL = LD; AD = a, BC = b.

Довести: KL ∥ AD; KL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$.

Доведення

Нехай MN – середня лінія трапеції, MN ∥ AD ∥ BC.

MN ділить діагоналі AC і BD навпіл (за теоремою Фалеса), тобто проходить через точки K і L.

Отже, KL лежить на MN і KL ∥ AD ∥ BC.

MK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ (MK – середня лінія △ABC);

LN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ (LN – середня лінія △BCD).

KL = MN – MK – LN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ – ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ – ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$.

Отже, відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам і дорівнює їх піврізниці.

Що і потрібно було довести.