455 Вправа 455Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 83

455. Якщо бісектриси кутів при одній основі трапеції перетинаються на іншій її основі, то інша основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції. Доведіть.

Дано: ABCD – трапеція (AD ∥ BC); BF і CF – бісектриси кутів B і C; F лежить на AD; ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

Довести: AD = AB + CD.

Доведення

∠2 = ∠AFB (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній BF).

∠1 = ∠2 (за умовою), тому ∠AFB = ∠1.

Отже, △ABF – рівнобедрений і AB = AF.

∠3 = ∠CFD (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD та січній CF).

∠3 = ∠4 (за умовою), тому ∠CFD = ∠4.

Отже, △CFD – рівнобедрений і CD = FD.

Тоді AD = AF + FD = AB + CD.

Отже, якщо бісектриси кутів при одній основі трапеції перетинаються на іншій її основі, то інша основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції.

Що і потрібно було довести.