446 Вправа 446Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 82

446. ABCD – рівнобічна трапеція, AD ∥ BC, BK і CM – висоти (мал. 189). Доведіть: 1) AK = MD = (AD – BC) : 2; 2) KD = AM = (AD + BC) : 2.

Дано: ABCD – рівнобічна трапеція; AD ∥ BC; BK ⊥ AD; CM ⊥ AD.

Довести: 1) AK = MD = (AD – BC) : 2; 2) KD = AM = (AD + BC) : 2.

Доведення

1) У △ABK і △DCM (∠K = ∠M = 90°):

AB = DC (бічні сторони рівнобічної трапеції);

∠A = ∠D (кути при основі рівнобічної трапеції).

Отже, △ABK = △DCM (за гіпотенузою і гострим кутом).

З рівності трикутників: AK = MD.

KBCM – прямокутник, тому KM = BC.

Тоді AK = MD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{-}\mathbf{KM}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{-}\mathbf{BC}}{\mathbf{2}}}$.

2) Оскільки AK = MD, то AK + KM = MD + KM, тобто AM = KD.

AM = KD = AK + KM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{-}\mathbf{BC}}{\mathbf{2}}}$ + BC =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{-}\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{BC}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{+}\mathbf{BC}}{\mathbf{2}}}$.

Що і потрібно було довести.