461 Вправа 461Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 7 · стор. 83

461. Пряма ділить трапецію на ромб і рівносторонній трикутник. Знайдіть: 1) кут між діагоналями трапеції; 2) основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 18 см.

1) ABCD – трапеція (BC ∥ AD), ABCK – ромб, △KCD – рівносторонній.

∠CKD = 60° (кут рівностороннього трикутника).

∠AKC = 180° – 60° = 120° (суміжні кути).

∠B = ∠AKC = 120° (протилежні кути ромба).

∠BAC = ∠BCA = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}{\mathbf{120}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{2}}}$ = 30° (△ABC – рівнобедрений).

∠BCD = 180° – ∠D = 180° – 60° = 120°.

BC = CK = CD, тому △BCD – рівнобедрений.

∠CBD = ∠CDB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}{\mathbf{120}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{2}}}$ = 30°.

Із △BOC: ∠BOC = 180° – ∠CBD – ∠BCA =

= 180° – 30° – 30° = 120°.

Тоді ∠COD = 180° – 120° = 60° (суміжні кути).

2)

Нехай BC = x см.

AK = BC = x см (сторони ромба);

KD = CK = x см (△KCD – рівносторонній).

Тоді AD = AK + KD = 2x см.

За властивістю середньої лінії трапеції:

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}}$ = 18;

1,5x = 18;

x = 12.

BC = 12 см, AD = 2 · 12 = 24 (см).

Відповідь: 1) 60°; 2) 12 см і 24 см.