640 Вправа 640Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 125

640. На малюнку 300 AB ∥ DC ∥ KL, AD : DK : KF = 2 : 3 : 2. Знайдіть довжини відрізків BC, CL, LF, DC і KL, якщо: 1) AB = 70 мм, FC = 40 мм; 2) AB = 21 см, FC = 15 см.

За узагальненою теоремою Фалеса BC : CL : LF = AD : DK : KF = 2 : 3 : 2.

Нехай BC = 2x, CL = 3x, LF = 2x, тоді FC = CL + LF = 5x, BF = 7x.

За наслідком з узагальненої теореми Фалеса △FDC ∾ △FAB, тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BF}}{\mathbf{CF}}}$;

△FKL ∾ △FDC, тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{DC}}{\mathbf{KL}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CF}}{\mathbf{LF}}}$.

1) 5x = 40; x = 8 (мм).

BC = 2 · 8 = 16 (мм);

CL = 3 · 8 = 24 (мм);

LF = 2 · 8 = 16 (мм);

BF = 7 · 8 = 56 (мм).

${\displaystyle \frac{\mathbf{70}}{\mathbf{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{56}}{\mathbf{40}}}$; DC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{70}\mathbf{\cdot }\mathbf{40}}{\mathbf{56}}}$ = 50 (мм);

${\displaystyle \frac{\mathbf{50}}{\mathbf{KL}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{40}}{\mathbf{16}}}$; KL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{50}\mathbf{\cdot }\mathbf{16}}{\mathbf{40}}}$ = 20 (мм).

2) 5x = 15; x = 3 (см).

BC = 2 · 3 = 6 (см);

CL = 3 · 3 = 9 (см);

LF = 2 · 3 = 6 (см);

BF = 6 + 9 + 6 = 21 (см).

DC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}\mathbf{\cdot }\mathbf{CF}}{\mathbf{BF}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{21}\mathbf{\cdot }\mathbf{15}}{\mathbf{21}}}$ = 15 (см);

KL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{DC}\mathbf{\cdot }\mathbf{LF}}{\mathbf{CF}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{15}\mathbf{\cdot }\mathbf{6}}{\mathbf{15}}}$ = 6 (см).

Відповідь: 1) BC = 16 мм, CL = 24 мм, LF = 16 мм, DC = 50 мм, KL = 20 мм; 2) BC = 6 см, CL = 9 см, LF = 6 см, DC = 15 см, KL = 6 см.