641 Вправа 641Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 125

641. На малюнку 301 AM ∥ BN ∥ CK ∥ DP. Знайдіть довжини відрізків MN, NK і KP, якщо: 1) a = 2,5 см, b = 4 см, c = 2 см, MP = 12,5 см; 2) a = 10 см, b = 16 см, c = 8 см, MP = 50 см.

За узагальненою теоремою Фалеса MN : NK : KP = a : b : c, тому

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{MP}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}}}$ · a; NK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{MP}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}}}$ · b; KP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{MP}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{c}}}$ · c.

1) ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{5}}{\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{5}}{\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$;

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$ · 2,5 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{125}}{\mathbf{34}}}$ (см);

NK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$ · 4 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{100}}{\mathbf{17}}}$ (см);

KP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$ · 2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{50}}{\mathbf{17}}}$ (см).

2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{50}}{\mathbf{10}\mathbf{+}\mathbf{16}\mathbf{+}\mathbf{8}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{50}}{\mathbf{34}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$;

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$ · 10 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{250}}{\mathbf{17}}}$ (см);

NK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$ · 16 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{400}}{\mathbf{17}}}$ (см);

KP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{17}}}$ · 8 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{200}}{\mathbf{17}}}$ (см).

Відповідь: 1) ${\displaystyle \frac{\mathbf{125}}{\mathbf{34}}}$ см, ${\displaystyle \frac{\mathbf{100}}{\mathbf{17}}}$ см, ${\displaystyle \frac{\mathbf{50}}{\mathbf{17}}}$ см; 2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{250}}{\mathbf{17}}}$ см, ${\displaystyle \frac{\mathbf{400}}{\mathbf{17}}}$ см, ${\displaystyle \frac{\mathbf{200}}{\mathbf{17}}}$ см.