654 Вправа 654Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 126

654. На малюнку 303 AB ∥ CD. 1. Застосувавши теорему про пропорційні відрізки, доведіть, що AO : OD = OB : OC. 2. Знайдіть AO і OD, якщо AD = 10 см, OB = 5 см, OC = 3 см.

1. Дано: AB ∥ CD; AD і BC перетинаються в точці O.

Довести: AO : OD = OB : OC.

Доведення

Відкладемо на променях OA і OB відрізки OD' = OD і OC' = OC.

∠D'OC' = ∠DOC (вертикальні).

△OD'C' = △ODC (за двома сторонами й кутом між ними).

Тоді ∠OD'C' = ∠ODC.

∠ODC = ∠OAB (внутрішні різносторонні кути при AB ∥ CD і січній AD).

Отже, ∠OD'C' = ∠OAB.

Ці кути – відповідні при прямих D'C', AB і січній OA, тому D'C' ∥ AB.

За узагальненою теоремою Фалеса AO : OD' = OB : OC', тобто AO : OD = OB : OC.

Що і потрібно було довести.

2. Нехай AO = x см, тоді OD = 10 – x (см).

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{10}\mathbf{-}\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{3}}}$;

3x = 50 – 5x;

8x = 50; x = 6,25.

AO = 6,25 см; OD = 10 – 6,25 = 3,75 (см).

Відповідь: 2. AO = 6,25 см, OD = 3,75 см.