657 Вправа 657Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 126

657. Основи трапеції дорівнюють a і b. Одну з її бічних сторін поділено на три рівні відрізки й через точки поділу проведено прямі, паралельні основам трапеції. Знайдіть довжини відрізків цих прямих, що мають кінці на бічних сторонах трапеції, якщо: 1) a = 7 см, b = 10 см; 2) a = 10 см, b = 14 см.

NP = a, MZ = b; NA = AC = CM.

Проведемо PO ∥ NM. Тоді NPOM, NPQA, NPFC – паралелограми:

AQ = CF = MO = a;

OZ = MZ – MO = b – a.

NA = AC = CM, тому за теоремою Фалеса PB = BK = KZ.

△PQB ∾ △POZ, △PFK ∾ △POZ (за наслідком з узагальненої теореми Фалеса), тому

QB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$OZ; FK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$OZ.

AB = a + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$(b – a); CK = a + ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$(b – a).

1) a = 7 см, b = 10 см:

AB = 7 + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · (10 – 7) = 8 (см);

CK = 7 + ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ · (10 – 7) = 9 (см).

2) a = 10 см, b = 14 см:

AB = 10 + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · (14 – 10) = 10 + 1${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ = 11${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ (см);

CK = 10 + ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ · (14 – 10) = 10 + 2${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ = 12${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: 1) 8 см, 9 см; 2) 11${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ см, 12${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см.