656 Вправа 656Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 126

656. Пряма, паралельна основам трапеції ABCD (мал. 304), перетинає її бічні сторони в точках M і P, а діагоналі – у точках O і H. 1. Чи рівні відрізки MO і HP? 2. Чи для кожної трапеції виконується співвідношення ${\displaystyle \frac{\mathbf{MO}}{\mathbf{DC}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{OP}}{\mathbf{AB}}}$ = 1?

MP ∥ AB ∥ DC, тому за узагальненою теоремою Фалеса ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BP}}{\mathbf{BC}}}$.

1. У △ADC MO ∥ DC, тому △AMO ∾ △ADC і ${\displaystyle \frac{\mathbf{MO}}{\mathbf{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AD}}}$.

У △BCD HP ∥ DC, тому △BHP ∾ △BDC і ${\displaystyle \frac{\mathbf{HP}}{\mathbf{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BP}}{\mathbf{BC}}}$.

Оскільки ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BP}}{\mathbf{BC}}}$, то ${\displaystyle \frac{\mathbf{MO}}{\mathbf{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{HP}}{\mathbf{DC}}}$, тобто MO = HP.

2. △AMO ∾ △ADC, тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{MO}}{\mathbf{DC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{AC}}}$.

У △CAB OP ∥ AB, тому △COP ∾ △CAB і ${\displaystyle \frac{\mathbf{OP}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CO}}{\mathbf{AC}}}$.

${\displaystyle \frac{\mathbf{MO}}{\mathbf{DC}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{OP}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{AC}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{CO}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}\mathbf{+}\mathbf{CO}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{AC}}}$ = 1.

Отже, співвідношення виконується для кожної трапеції.

Відповідь: 1. так; 2. так, для кожної трапеції.