653 Вправа 653Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 126

653. За даними на малюнку 302 доведіть: 1) a : c = b : d; 2) a : c = (a + b) : (c + d); 3) c : a = (b – a) : (d – c).

1) Довести: a : c = b : d.

Доведення

Оскільки дві прямі перетинають паралельні прямі, то за узагальненою теоремою Фалеса a : c = b : d.

2) Довести: a : c = (a + b) : (c + d).

Доведення

a : c = b : d = k, тоді a = kc; b = kd;

${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{c}\mathbf{+}\mathbf{d}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{kc}\mathbf{+}\mathbf{kd}}{\mathbf{c}\mathbf{+}\mathbf{d}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{k}\mathbf{(}\mathbf{c}\mathbf{+}\mathbf{d}\mathbf{)}}{\mathbf{c}\mathbf{+}\mathbf{d}}}$ = k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$.

Отже, a : c = (a + b) : (c + d).

3) Довести: c : a = (d – c) : (b – a).

Доведення

a : c = b : d = k, тоді a = kc, b = kd;

b – a = kd – kc = k(d – c);

${\displaystyle \frac{\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}}{\mathbf{d}\mathbf{-}\mathbf{c}}}$ = k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$.

Отже, a : c = (b – a) : (d – c), тобто c : a = (d – c) : (b – a).

Що і потрібно було довести.