659 Вправа 659Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 127

659. Для зменшення або збільшення відрізка за певним відношенням застосовують пропорційний циркуль (мал. 305). Поясніть, на чому ґрунтується спосіб його використання.

Ніжки AA1 і BB1 пропорційного циркуля однакові й скріплені шарніром O так, що OA = OB, OA1 = OB1, OA : OA1 = k.

Відкладемо на променях OA і OB відрізки OA' = OA1 і OB' = OB1.

∠A'OB' = ∠A1OB1 (вертикальні).

△A'OB' = △A1OB1 (за двома сторонами й кутом між ними), тому A'B' = A1B1.

Трикутники AOB і A'OB' рівнобедрені зі спільним кутом O, тому кути при їхніх основах рівні: ∠OA'B' = ∠OAB.

Ці кути – відповідні при прямих A'B', AB і січній OA, отже, A'B' ∥ AB.

За наслідком з узагальненої теореми Фалеса △A'OB' ∾ △AOB, тому

${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{A}\text{'}\mathbf{B}\text{'}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OA}}{\mathbf{OA}\text{'}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OA}}{{\mathbf{OA}}_{\mathbf{1}}}}$ = k, тобто AB : A1B1 = k.

Спосіб використання пропорційного циркуля ґрунтується на незмінній пропорції між відповідними сторонами подібних трикутників, які утворюють ніжки інструмента: при будь-якому розкритті циркуля відстань AB у k разів більша за відстань A1B1.