655 Вправа 655Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 11 · стор. 126

655. Відрізок MN має кінці на сторонах AB і AC трикутника ABC і паралельний стороні BC. Доведіть, що медіана AA1 ділить цей відрізок навпіл.

Дано: △ABC; M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC; AA1 – медіана; O – точка перетину AA1 і MN.

Довести: MO = ON.

Доведення

MO ∥ BA1, тому за наслідком з узагальненої теореми Фалеса △AMO ∾ △ABA1, звідси

${\displaystyle \frac{{\mathbf{AA}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{BA}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{MO}}}$.

Аналогічно ON ∥ A1C, тому △AON ∾ △AA1C, звідси

${\displaystyle \frac{{\mathbf{AA}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}\mathbf{C}}{\mathbf{ON}}}$.

Тоді ${\displaystyle \frac{{\mathbf{BA}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{MO}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}\mathbf{C}}{\mathbf{ON}}}$,

або ${\displaystyle \frac{{\mathbf{BA}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}\mathbf{C}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{MO}}{\mathbf{ON}}}$.

За умовою BA1 = A1C, тоді MO = ON, тобто точка O ділить відрізок MN навпіл.

Що і потрібно було довести.