1119 Вправа 1119Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 22 · стор. 211

1119. Знайдіть два числа, якщо: а) їх сума дорівнює 20, а добуток — 91; б) їх різниця дорівнює 15, а сума квадратів — 257.

Нехай а) числа ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle 20-x}$:

${\displaystyle x(20-x)=}$${\displaystyle 91}$;

${\displaystyle 20x-x^2=}$${\displaystyle 91}$;

${\displaystyle x^2-20x+91=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -20,c=}$${\displaystyle 91}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-20)}^2-4\cdot 1\cdot 91=}$${\displaystyle 400-364=}$${\displaystyle 36}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{20\pm \sqrt{36}}{2}=}$${\displaystyle \frac{20\pm 6}{2}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{20+6}{2}=}$${\displaystyle 13}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{20-6}{2}=}$${\displaystyle 7}$;

числа ${\displaystyle 7\text{і }13}$;

Нехай б) числа ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle x-15}$:

${\displaystyle x^2+{(x-15)}^2=}$${\displaystyle 257}$;

${\displaystyle 2x^2-30x+225-257=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 2x^2-30x-32=}$${\displaystyle 0\mid :2}$;

${\displaystyle x^2-15x-16=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 1,b=}$${\displaystyle -15,c=}$${\displaystyle -16}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle {(-15)}^2-4\cdot 1\cdot (-16)=}$${\displaystyle 225+64=}$${\displaystyle 289}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{15\pm \sqrt{289}}{2}=}$${\displaystyle \frac{15\pm 17}{2}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{15+17}{2}=}$${\displaystyle 16}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{15-17}{2}=}$${\displaystyle -1}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 16}$: числа ${\displaystyle 16\text{і }1}$; ${\displaystyle x=}$${\displaystyle -1}$: числа ${\displaystyle -1\text{і }-16}$.