43 Вправа 43Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Розділ 1 · стор. 8

43. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику: 1) бісектриси кутів при основі – рівні; 2) висоти, проведені до бічних сторін, – рівні; 3) медіани, проведені до бічних сторін, – рівні.

1)

Дано: △ABC; AB = BC; AN, CK – бісектриси.

Довести: AN = CK.

Доведення

У △ABN і △CBK:

1) ∠B (спільний);

2) AB = BC (за умовою);

3) ∠BAN = ∠BCK (як половини рівних кутів при основі).

Отже, △ABN = △CBK (за стороною і прилеглими кутами).

Тоді AN = CK (відповідні сторони рівних трикутників).

Що і потрібно було довести.

2)

Дано: △ABC; AB = BC; AM, CD – висоти.

Довести: AM = CD.

Доведення

У △ABM і △CBD:

1) ∠AMB = ∠CDB = 90° (AM, CD – висоти);

2) AB = BC (за умовою);

3) ∠B (спільний).

Отже, △ABM = △CBD (за гіпотенузою і гострим кутом).

Тоді AM = CD (відповідні сторони рівних трикутників).

Що і потрібно було довести.

3)

Дано: △ABC; AB = BC; AM, CK – медіани.

Довести: AM = CK.

Доведення

У △ABM і △CBK:

1) AB = BC (за умовою);

2) BM = BK (як половини рівних сторін);

3) ∠B (спільний).

Отже, △ABM = △CBK (за двома сторонами і кутом між ними).

Тоді AM = CK (відповідні сторони рівних трикутників).

Що і потрібно було довести.