1042 Вправа 1042Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 197

1042. Складіть усі можливі квадратні рівняння, які мали б по одному спільному кореню з даними рівняннями: а) x² − 3x − 28 = 0 і 2x² + x − 10 = 0; б) 2x² + 5x − 3 = 0 і x² − 4x + 4 = 0.

Знаходимо корені обох рівнянь; шукане рівняння має один корінь першого і один корінь другого.

а) ${\displaystyle x^2-3x-28=}$${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle 3}$;

${\displaystyle x_1{x}_2=}$${\displaystyle -28}$ → ${\displaystyle 7}$ і ${\displaystyle -4}$;

${\displaystyle 2x^2+x-10=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 2,b=}$${\displaystyle 1,c=}$${\displaystyle -10}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 1^2-4\cdot 2\cdot (-10)=}$${\displaystyle 1+80=}$${\displaystyle 81}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{81}}{4}=}$${\displaystyle \frac{-1\pm 9}{4}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-1+9}{4}=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-1-9}{4}=}$${\displaystyle -2,5}$;

Пари коренів і рівняння ${\displaystyle (x-x_1)(x-x_2)=}$${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle 7}$ і ${\displaystyle 2}$: ${\displaystyle x^2-9x+14=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 7}$ і ${\displaystyle -2,5}$: ${\displaystyle x^2-4,5x-17,5=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 2x^2-9x-35=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle -4}$ і ${\displaystyle 2}$: ${\displaystyle x^2+2x-8=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle -4}$ і ${\displaystyle -2,5}$: ${\displaystyle x^2+6,5x+10=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 2x^2+13x+20=}$${\displaystyle 0}$;

б)

${\displaystyle 2x^2+5x-3=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle a=}$${\displaystyle 2,b=}$${\displaystyle 5,c=}$${\displaystyle -3}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle b^2-4ac=}$${\displaystyle 5^2-4\cdot 2\cdot (-3)=}$${\displaystyle 25+24=}$${\displaystyle 49}$;

${\displaystyle D>0}$, два корені:

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=}$${\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{49}}{4}=}$${\displaystyle \frac{-5\pm 7}{4}}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-5+7}{4}=}$${\displaystyle 0,5}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-5-7}{4}=}$${\displaystyle -3}$;

${\displaystyle x^2-4x+4=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle {(x-2)}^2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x=}$${\displaystyle 2}$;

${\displaystyle 0,5}$ і ${\displaystyle 2}$: ${\displaystyle x^2-2,5x+1=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 2x^2-5x+2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle -3}$ і ${\displaystyle 2}$: ${\displaystyle x^2+x-6=}$${\displaystyle 0}$.