1045 Вправа 1045Алгебра 8 клас Бевз 2025 · § 20 · стор. 197

1045. Не розв’язуючи дане рівняння, склади нове квадратне рівняння, корені якого були б обернені до відповідних коренів даного рівняння. а) x² − 14x + 5 = 0; б) 2x² − 7x + 6 = 0.

Нові корені ${\displaystyle y_1=}$${\displaystyle \frac{1}{x_1}}$;

${\displaystyle y_2=}$${\displaystyle \frac{1}{x_2}}$: ${\displaystyle y_1+y_2=}$${\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}$;

${\displaystyle y_1{y}_2=}$${\displaystyle \frac{1}{x_1{x}_2}}$.

а) ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 196-20>0}$;

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle 14}$;

${\displaystyle x_1{x}_2=}$${\displaystyle 5}$;

${\displaystyle y_1+y_2=}$${\displaystyle \frac{14}{5}}$;

${\displaystyle y_1{y}_2=}$${\displaystyle \frac{1}{5}}$;

${\displaystyle y^2-\frac{14}{5}y+\frac{1}{5}=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mid \cdot 5}$, ${\displaystyle 5y^2-14y+1=}$${\displaystyle 0}$;

б) ${\displaystyle D=}$${\displaystyle 49-48=}$${\displaystyle 1>0}$;

${\displaystyle x_1+x_2=}$${\displaystyle \frac{7}{2}}$;

${\displaystyle x_1{x}_2=}$${\displaystyle 3}$;

${\displaystyle y_1+y_2=}$${\displaystyle \frac{7}{2}:3=}$${\displaystyle \frac{7}{6}}$;

${\displaystyle y_1{y}_2=}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$;

${\displaystyle y^2-\frac{7}{6}y+\frac{1}{3}=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mid \cdot 6}$, ${\displaystyle 6y^2-7y+2=}$${\displaystyle 0}$.

(Зауваження: у рівнянні, оберненому до ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=}$${\displaystyle 0}$, коефіцієнти просто переставлені: ${\displaystyle c{y}^2+by+a=}$${\displaystyle 0}$.)