1291 Вправа 1291Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 254

9. У прямокутнику діагональ ділить кут у відношенні 2 : 3. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника.

Нехай ABCD – прямокутник, O – точка перетину діагоналей.

∠DAC : ∠BAC = 2 : 3.

Нехай ∠DAC = 2x, ∠BAC = 3x.

2x + 3x = 90° (кут прямокутника прямий);

5x = 90°;

x = 18°.

∠DAC = 2 · 18° = 36°.

∠BAC = 3 · 18° = 54°.

AO = BO (діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл).

△ABO – рівнобедрений, тому ∠OBA = ∠OAB = 54°.

У △ABO: α = ∠AOB = 180° – (54° + 54°) = 72°.

Відповідь: 72°.