1305 Вправа 1305Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 256

23. Бісектриси зовнішніх кутів трикутника утворюють трикутник. Чи подібний він даному трикутнику? Відповідь поясніть.

Нехай ∠A, ∠B, ∠C – кути △ABC, A1B1C1 – трикутник, утворений бісектрисами його зовнішніх кутів.

Бісектриси зовнішніх кутів при вершинах B і C перетинаються в точці A1.

∠A1BC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}\angle \mathbf{B}}{\mathbf{2}}}$ (половина зовнішнього кута при вершині B).

∠A1CB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}\angle \mathbf{C}}{\mathbf{2}}}$ (половина зовнішнього кута при вершині C).

У △A1BC: ∠A1 = 180° – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}\angle \mathbf{B}}{\mathbf{2}}}$ – ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}\angle \mathbf{C}}{\mathbf{2}}}$ =

= ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{B}\mathbf{+}\angle \mathbf{C}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}\angle \mathbf{A}}{\mathbf{2}}}$ = 90° – ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{A}}{\mathbf{2}}}$.

Аналогічно ∠B1 = 90° – ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{B}}{\mathbf{2}}}$, ∠C1 = 90° – ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{C}}{\mathbf{2}}}$.

Нехай ∠A – найбільший, а ∠C – найменший кут △ABC.

Тоді найменший кут △A1B1C1 – це ∠A1 = 90° – ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{A}}{\mathbf{2}}}$,

а найбільший – ∠C1 = 90° – ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{C}}{\mathbf{2}}}$.

Якщо трикутники подібні, то їхні найменші кути рівні й найбільші кути рівні:

90° – ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{A}}{\mathbf{2}}}$ = ∠C;

90° – ${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{C}}{\mathbf{2}}}$ = ∠A.

Віднімемо від першої рівності другу:

${\displaystyle \frac{\angle \mathbf{C}\mathbf{-}\angle \mathbf{A}}{\mathbf{2}}}$ = ∠C – ∠A, звідки ∠A = ∠C.

Найбільший і найменший кути рівні, тому всі кути △ABC дорівнюють 60°, тобто △ABC – рівносторонній.

Якщо △ABC рівносторонній, то ∠A1 = ∠B1 = ∠C1 = 90° – 30° = 60°, і трикутники подібні.

Відповідь: подібний лише тоді, коли даний трикутник рівносторонній; у решті випадків – ні.