1315 Вправа 1315Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 257

33. Точка A лежить на відстані 2 см від кола радіусом 3 см. Знайдіть косинус кута між дотичними, проведеними з точки A до цього кола.

OB = 3 см; AB = 2 см; AK і AF – дотичні до кола.

OK ⊥ AK; OF ⊥ AF (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної).

OK = OF = 3 см.

AO = AB + BO = 2 + 3 = 5 (см).

У △AKO: AK = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{AO}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{OK}}^{\mathbf{2}}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{25}\mathbf{-}\mathbf{9}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{16}}}$ = 4 (см).

AF = AK = 4 см (відрізки дотичних, проведених з однієї точки).

△AKF – рівнобедрений, AO – бісектриса кута KAF, тому KF ⊥ AO.

H – точка перетину KF і AO; KH – висота прямокутного △AKO:

KH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}\mathbf{\cdot }\mathbf{OK}}{\mathbf{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}{\mathbf{5}}}$ = 2,4 (см);

KF = 2KH = 4,8 см.

AH = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{AK}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{16}}{\mathbf{5}}}$ = 3,2 (см).

S△AKF = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · KF · AH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 4,8 · 3,2 = 7,68 (см2).

Проведемо FL ⊥ AK.

FL = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{2}\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{AKF}}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{68}}{\mathbf{4}}}$ = 3,84 (см).

У △AFL: AL = ${\displaystyle \sqrt{{\mathbf{AF}}^{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{FL}}^{\mathbf{2}}}}$ =

= ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{16}\mathbf{-}\mathbf{14}\mathbf{,}\mathbf{7456}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2544}}}$ = 1,12 (см).

cos ∠KAF = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AL}}{\mathbf{AF}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{12}}{\mathbf{4}}}$ = 0,28.

Відповідь: 0,28.