1312 Вправа 1312Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 256

30. Довжини катетів прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайдіть значення синуса й косинуса гострого кута між гіпотенузою та проведеною до неї медіаною.

AC = 7 см; BC = 24 см; CM – медіана, проведена до гіпотенузи.

AB2 = BC2 + AC2 = 576 + 49 = 625;

AB = 25 см.

BM = MA = CM = 12,5 см (медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині).

Проведемо висоту CH.

2S△ABC = AC · BC = AB · CH, тому

CH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}\mathbf{\cdot }\mathbf{BC}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{7}\mathbf{\cdot }\mathbf{24}}{\mathbf{25}}}$ = 6,72 (см).

AC2 = AB · AH (катет – середнє пропорційне між гіпотенузою та його проекцією на гіпотенузу);

AH = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{AC}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{49}}{\mathbf{25}}}$ = 1,96 (см).

MH = MA – AH = 12,5 – 1,96 = 10,54 (см).

∠CMA – гострий кут між гіпотенузою і медіаною.

У △CMH: sin ∠CMA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CH}}{\mathbf{CM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{72}}{\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{5}}}$ = 0,5376;

cos ∠CMA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{MH}}{\mathbf{CM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{54}}{\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{5}}}$ = 0,8432.

Відповідь: sin = 0,5376; cos = 0,8432.