1314 Вправа 1314Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 257

32. Знайдіть значення синуса й косинуса найменшого кута прямокутного трикутника, якщо: 1) a – b = 17 см, c = 25 см; 2) c – a = 1 см, c – b = 50 см; 3) c + a = 49 см, c + b = 50 см.

1) a – b = 17 см; c = 25 см; b = x; a = x + 17;

x2 + (x + 17)2 = 625;

x2 + x2 + 34x + 289 – 625 = 0;

2x2 + 34x – 336 = 0;

x2 + 17x – 168 = 0;

D = 172 + 4 · 168 = 289 + 672 = 961;

x1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{-}\mathbf{17}\mathbf{+}\mathbf{31}}{\mathbf{2}}}$ = 7;

x2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{-}\mathbf{17}\mathbf{-}\mathbf{31}}{\mathbf{2}}}$ = –24 – не задовольняє умову.

b = 7 см; a = 24 см.

Найменший кут лежить проти меншого катета b – це ∠B.

sin ∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{7}}{\mathbf{25}}}$ = 0,28;

cos ∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{24}}{\mathbf{25}}}$ = 0,96.

2) c = x; a = x – 1; b = x – 50; c2 = a2 + b2;

x2 = x2 – 2x + 1 + x2 – 100x + 2500;

x2 – 102x + 2501 = 0;

D = 10404 – 10004 = 400;

x1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{102}\mathbf{+}\mathbf{20}}{\mathbf{2}}}$ = 61;

x2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{102}\mathbf{-}\mathbf{20}}{\mathbf{2}}}$ = 41 – не задовольняє умову (b = 41 – 50 < 0).

c = 61 см; a = 60 см; b = 11 см.

Найменший кут – ∠B (лежить проти меншого катета b).

sin ∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{11}}{\mathbf{61}}}$;

cos ∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{60}}{\mathbf{61}}}$.

3) c = x; a = 49 – x; b = 50 – x;

x2 = 2401 – 98x + x2 + 2500 – 100x + x2;

x2 – 198x + 4901 = 0;

D = 39204 – 19604 = 19600;

x1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{198}\mathbf{+}\mathbf{140}}{\mathbf{2}}}$ = 169 – не задовольняє умову (a < 0);

x2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{198}\mathbf{-}\mathbf{140}}{\mathbf{2}}}$ = 29.

c = 29 см; a = 20 см; b = 21 см.

Найменший кут – ∠A (лежить проти меншого катета a).

sin ∠A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{20}}{\mathbf{29}}}$;

cos ∠A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{c}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{21}}{\mathbf{29}}}$.

Відповідь: 1) 0,28 і 0,96; 2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{11}}{\mathbf{61}}}$ і ${\displaystyle \frac{\mathbf{60}}{\mathbf{61}}}$; 3) ${\displaystyle \frac{\mathbf{20}}{\mathbf{29}}}$ і ${\displaystyle \frac{\mathbf{21}}{\mathbf{29}}}$.