1327 Вправа 1327Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 258

45. Висота трикутника дорівнює 4 см. Вона ділить сторону, до якої проведена, у відношенні 1 : 8. Знайдіть довжину відрізка з кінцями на сторонах трикутника, який паралельний висоті й ділить трикутник на частини з рівними площами.

△ABC: BK ⊥ AC; BK = 4 см; AK : KC = 1 : 8.

AK = x; KC = 8x.

S△ABK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{\cdot }\mathbf{x}}{\mathbf{2}}}$ = 2x;

S△BKC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}\mathbf{\cdot }\mathbf{8}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}}$ = 16x;

S△ABC = 2x + 16x = 18x.

Шуканий відрізок PD ділить площу △ABC навпіл:

S△PDC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$S△ABC = 9x.

S△ABK = 2x < 9x, тому відрізок PD лежить у △BKC.

PD ∥ BK, тому △PDC ∼ △BKC (за двома кутами).

${\displaystyle \frac{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{PDC}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{△}\mathbf{BKC}}}}$ = k2 (відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності);

k2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{9}\mathbf{x}}{\mathbf{16}\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{9}}{\mathbf{16}}}$;

k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$.

${\displaystyle \frac{\mathbf{PD}}{\mathbf{BK}}}$ = k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$;

PD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$ · 4 = 3 (см).

Відповідь: 3 см.