1308 Вправа 1308Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 256

26. Теорема Птолемея. Доведіть, що у вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

Дано: ABCD – чотирикутник, вписаний у коло.

Довести: AC · BD = AB · CD + AD · BC.

Доведення

Візьмемо на BD точку K так, щоб ∠BAK = ∠CAD.

1) △ABK ∼ △ACD (за двома кутами):

∠BAK = ∠CAD (за побудовою);

∠ABK = ∠ACD (вписані кути, що спираються на дугу AD).

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{CD}}}$, звідки AB · CD = AC · BK.

2) ∠KAD = ∠BAC (до рівних кутів BAK і CAD додали спільний кут KAC);

∠ADK = ∠ACB (вписані кути, що спираються на дугу AB).

△AKD ∼ △ABC (за двома кутами).

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KD}}{\mathbf{BC}}}$, звідки AD · BC = AC · KD.

Додамо одержані рівності:

AB · CD + AD · BC = AC · BK + AC · KD =

= AC · (BK + KD) = AC · BD.

Що і потрібно було довести.