1321 Вправа 1321Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 257

39. Два кола радіусами 3 см і 12 см дотикаються зовнішньо. Знайдіть кут між спільними зовнішніми дотичними цих кіл.

O2B = 12 см; O1D = 3 см.

O2B ⊥ AB; O1D ⊥ AB (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної).

Центри O1 і O2 лежать на бісектрисі кута BAC (центр кола, вписаного в кут, лежить на його бісектрисі).

△ADO1 ∼ △ABO2 (за двома кутами):

∠A – спільний; ∠ADO1 = ∠ABO2 = 90°.

Нехай AO1 = x.

O1O2 = 3 + 12 = 15 (см);

AO2 = x + 15.

${\displaystyle \frac{{\mathbf{AO}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{1}}\mathbf{D}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{AO}}_{\mathbf{2}}}{{\mathbf{O}}_{\mathbf{2}}\mathbf{B}}}$;

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{15}}{\mathbf{12}}}$;

12x = 3x + 45;

9x = 45;

x = 5.

У △ADO1: sin ∠DAO1 = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{DO}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{AO}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}}$ = 0,6;

∠DAO1 ≈ 36°52'.

∠BAC = 2∠DAO1 ≈ 73°44'.

Відповідь: ≈ 73°44'.