1330 Вправа 1330Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Повторення · стор. 258

48. У трапеції ABCD через середину O діагоналі AC проведено пряму MN паралельно діагоналі BD (M ∈ AB, N ∈ AD). Чи поділить навпіл площу трапеції відрізок: 1) DM; 2) BN? Відповідь поясніть.

BO – медіана △ABC, DO – медіана △ACD (O – середина AC), тому

S△ABO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$S△ABC (медіана ділить трикутник на два рівновеликі);

S△ADO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$S△ACD.

S△ABO + S△ADO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Точка O лежить у △ABD, тому

S△ABO + S△ADO = S△ABD – S△BOD.

Отже, S△ABD – S△BOD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

MN ∥ BD, тому точки M, O, N рівновіддалені від прямої BD:

S△BMD = S△BND = S△BOD (спільна основа BD і рівні висоти).

1) S△AMD = S△ABD – S△BMD =

= S△ABD – S△BOD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

2) S△ABN = S△ABD – S△BND =

= S△ABD – S△BOD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Відповідь: 1) так; 2) так.