323 Вправа 323Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 5 · стор. 59

323. У рівносторонній трикутник вписано ромб, який має з ним спільний кут (мал. 115). 1. Знайдіть периметр ромба, якщо периметр трикутника дорівнює 24 см. 2. Доведіть, що сторона ромба дорівнює половині сторони трикутника. 3. Знайдіть довжини відрізків, на які вершини ромба ділять сторони трикутника.

Нехай у рівносторонній △ABC вписано ромб AEFK; ∠A – спільний.

2. EF ∥ AC (протилежні сторони ромба).

∠BEF = ∠A = 60° (відповідні кути);

∠BFE = ∠C = 60° (відповідні кути).

Отже, △EBF – рівносторонній: BE = EF.

EF = AE (сторони ромба), тому AE = BE = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB.

1. P△ABC = 24 см;

AB = BC = AC = 24 : 3 = 8 (см).

AE = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 8 = 4 (см);

PAEFK = 4 · 4 = 16 (см).

3. BE = AE = 4 см;

аналогічно AK = KC = 4 см;

BF = FC = 4 см.

Відповідь: 1. 16 см; 3. усі по 4 см.