333 Вправа 333Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 5 · стор. 60

333. Від двох протилежних вершин ромба на його сторонах відкладено рівні відрізки (мал. 119). Доведіть, що утворений чотирикутник PMNK – прямокутник.

Нехай ABCD – ромб; AM = AP = CN = CK.

AC і BD – діагоналі ромба; AC ⊥ BD.

△AMP – рівнобедрений (AM = AP).

AO – його бісектриса (діагональ ромба ділить кут навпіл), тому AC ⊥ MP.

Аналогічно AC ⊥ NK.

Отже, MP ∥ NK (дві прямі, перпендикулярні до третьої).

BM = AB – AM; BN = BC – CN, тому BM = BN.

△MBN – рівнобедрений, BD – бісектриса кута B, тому BD ⊥ MN.

Аналогічно BD ⊥ PK.

Отже, MN ∥ PK.

Тому PMNK – паралелограм.

MN ⊥ BD і AC ⊥ BD, тому MN ∥ AC.

NK ⊥ AC, отже, MN ⊥ NK.

Паралелограм із прямим кутом – прямокутник.

Отже, PMNK – прямокутник.

Що і потрібно було довести.