334 Вправа 334Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 5 · стор. 60
Умова
Із точки перетину діагоналей ромба проведено перпендикуляри до його сторін. Доведіть, що основи цих перпендикулярів є вершинами прямокутника.
Розв'язок
334. Із точки перетину діагоналей ромба проведено перпендикуляри до його сторін. Доведіть, що основи цих перпендикулярів є вершинами прямокутника.
Нехай ABCD – ромб; O – точка перетину діагоналей; OM ⊥ AB; OP ⊥ BC; ON ⊥ DC; OK ⊥ AD.
AB ∥ DC, тому OM і ON лежать на одній прямій, перпендикулярній до AB і DC.
Аналогічно точки K, O, P лежать на одній прямій.
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, а кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від його сторін.
OM = OP (O лежить на бісектрисі BD кута B);
OP = ON (O лежить на бісектрисі CA кута C);
ON = OK (O лежить на бісектрисі DB кута D).
Отже, OM = ON = OK = OP, тому MN = KP.
У чотирикутнику MPNK діагоналі MN і KP рівні й точкою перетину діляться навпіл, тому MPNK – прямокутник (див. задачу 267).
Що і потрібно було довести.