338 Вправа 338Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 5 · стор. 60

338. Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, перетинаючись, утворюють квадрат.

Нехай ABCD – прямокутник; бісектриси кутів A і B перетинаються в точці M, кутів C і D – у точці P, кутів A і D – у точці N, кутів B і C – у точці K.

Бісектриси ділять прямі кути прямокутника на кути по 45°.

У △ABM: ∠BAM = ∠ABM = 45°, тому ∠AMB = 90° і AM = BM.

∠NMK = ∠AMB = 90° (вертикальні).

Аналогічно ∠MNP = ∠NPK = ∠PKM = 90°, тому MNPK – прямокутник.

△AND = △BKC (за стороною і прилеглими кутами):

AD = BC; ∠NAD = ∠NDA = ∠KBC = ∠KCB = 45°.

Звідси AN = BK.

MN = AN – AM;

MK = BK – BM.

Оскільки AN = BK і AM = BM, то MN = MK.

Прямокутник MNPK, у якого сусідні сторони рівні, – квадрат.

Що і потрібно було довести.